Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过A（-3，0），对称轴为直线x=-1，下列结论：①b²＞4ac；②2a+b=0；③a-b+c=0；④5a＜b；⑤a-b＞m（am+b）（m≠-1），其中正确的结论有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：根据函数和x轴有两个交点即可判断①；根据图象得出a＜0，根据对称轴求出b=2a，代入2a+b即可判断②，把x=-1代入二次函数解析式即可判断③，根据b=2a和a＜0即可判断④，根据函数的最值，即可判断⑤．

解答：解：∵二次函数y=ax²+bx+c的图象过A（-3，0），对称轴为直线x=-1，
∴二次函数和x轴的另一个交点的坐标是（1，0），
即二次函数和x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，
∴b²＞4ac，∴①正确；
∵二次函数的图象的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-1，
∴-

b

2a

=-1，
-b=-2a，
b=2a，
∴2a+b=4a＜0，∴②错误；
把x=-1代入y=ax²+bx+c得：y=a-b+c＞0，∴③错误；
∵b=2a，a＜0，
∴5a-b=5a-2a=3a＜0，
∴5a＜b，∴④正确；
∵二次函数的图象开口向下，
∴函数值有最大值，
当x=-1时，函数值最大，
∴把x=-1代入y=ax²+bx+c得：y_最大值=a-b+c，
∵m≠-1，
∴把x=m代入y=ax²+bx+c得：y_m=am²+bm+c＜a-b+c，
即a-b＞m（am+b），∴⑤正确；
故选C．

点评：本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．当b²-4ac＞0时，二次函数的图象和x轴有两个交点，当b²-4ac=0时，二次函数的图象和x轴有一个交点，当b²-4ac＜0时，二次函数的图象和x轴没有交点．