题目内容
如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：y=-
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（1）在平移过程中，得到△A1B1C1，此时顶点A1恰落在直线l上，写出A1点的坐标
（2）继续向右平移，得到△A2B2C2，此时它的外心（即三角形三边垂直平分线的交点）P恰好落在直线l上，求P点的坐标；
（3）在直线l上是否存在这样的点，与（2）中的A2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据等边三角形ABC的高为3，得出A1点的纵坐标为3，再代入y=-
x+4即可；
（2）设P（x，y），连接A2P并延长交x轴于点H，连接B2P，先求出A2B2=2
，HB2=
，根据点P是等边三角形A2B2C2的外心，得出PH=1，将y=1代入y=-
x+4，即可得出点P的坐标；
（3）根据点P是等边三角形A2B2C2的外心，得出△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形，可得P点坐标．
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（2）设P（x，y），连接A2P并延长交x轴于点H，连接B2P，先求出A2B2=2
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（3）根据点P是等边三角形A2B2C2的外心，得出△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形，可得P点坐标．
解答：解：（1）A1（
，3）
（2）P（3
，1）
解：（1）∵等边三角形ABC的高为3，
∴A1点的纵坐标为3，
∵顶点A1恰落在直线l上，
∴3=-
x+4，
解得：x=
，
∴A1点的坐标是（
，3），
故答案为：（
，3）；
（2）如图：
设P（x，y），连接A2P并延长交x轴于点H，连接B2P，
在等边三角△A2B2C2中，高A2H=3，
∴A2B2=2
，HB2=
，
∵点P是等边三角形A2B2C2的外心，
∴∠PB2H=30°，
∴PH=1，即y=1，
将y=1代入y=-
x+4，
解得：x=3
，
∴P（3
，1）；
（3）如图：
；
∵点P是等边三角形A2B2C2的外心，
∴△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形，
∴点P满足的条件，由（2）得P（3
，1），
由（2）得，C2（4
，0），点C2满足直线y=-
x+4的关系式，
∴点C2与点M重合，
∴∠PMB2=30°，
设点Q满足的条件，△QA2B2，△B2QC2，△A2QC2能构成等腰三角形，
此时QA2=QB2，B2Q=B2C2，A2Q=A2C2，
作QD⊥x轴与点D，连接QB2，
∵QB2=2
，∠QB2D=2∠PMB2=60°，∴QD=3，
∴Q（
，3），设点S满足的条件，△SA2B2，△C2B2S，△C2PA2是等腰三角形，
此时SA2=SB2，C2B2=C2S，C2A2=C2S，
作SF⊥x轴于点F，
∵SC2=2
，∠SB2C2=∠PMB2=30°，
∴SF=
，
∴S（4
-3，
），
设点R满足的条件，△RA2B2，△C2B2R，△C2A2R能构成等腰三角形，
此时RA2=RB2，C2B2=C2R，C2A2=C2R，
作RE⊥x轴于点E，
∵RC2=2
，∠RC2E=∠PMB2=30°，
∴ER=
，
∴R（4
+3，-
），
存在四个点，分别是P（3
，1），Q（
，3），S（4
-3，
），R（4
+3，-
）．
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（2）P（3
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解：（1）∵等边三角形ABC的高为3，
∴A1点的纵坐标为3，
∵顶点A1恰落在直线l上，
∴3=-
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解得：x=
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∴A1点的坐标是（
| 3 |
故答案为：（
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（2）如图：
设P（x，y），连接A2P并延长交x轴于点H，连接B2P，
在等边三角△A2B2C2中，高A2H=3，
∴A2B2=2
| 3 |
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∵点P是等边三角形A2B2C2的外心，
∴∠PB2H=30°，
∴PH=1，即y=1，
将y=1代入y=-
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解得：x=3
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∴P（3
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（3）如图：
；∵点P是等边三角形A2B2C2的外心，
∴△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形，
∴点P满足的条件，由（2）得P（3
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由（2）得，C2（4
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∴点C2与点M重合，
∴∠PMB2=30°，
设点Q满足的条件，△QA2B2，△B2QC2，△A2QC2能构成等腰三角形，
此时QA2=QB2，B2Q=B2C2，A2Q=A2C2，
作QD⊥x轴与点D，连接QB2，
∵QB2=2
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∴Q（
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此时SA2=SB2，C2B2=C2S，C2A2=C2S，
作SF⊥x轴于点F，
∵SC2=2
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∴SF=
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∴S（4
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设点R满足的条件，△RA2B2，△C2B2R，△C2A2R能构成等腰三角形，
此时RA2=RB2，C2B2=C2R，C2A2=C2R，
作RE⊥x轴于点E，
∵RC2=2
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∴ER=
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∴R（4
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存在四个点，分别是P（3
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点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用函数值求自变量的值，（2）利用了等边三角形的性质，利用了函数值与自变量的关系；（3）利用了三角形的外心到三角形的顶点相等．
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