题目内容
【题目】综合与实践
问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．试说明中点四边形EFGH是平行四边形．
探究展示：勤奋小组的解题思路：
反思交流：
（1）①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1： ；依据2： ；
②连接AC，若AC＝BD时，则中点四边形EFGH的形状为 ；
创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
（2）如图（2），点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其它条件不变，则中点四边形EFGH的形状为 ．
【答案】（1）①依据1：三角形的中位线定理．依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．②菱形．理由见解析；（2）四边形EFGH是菱形．理由见解析；（3）正方形．理由见解析.
【解析】
（1）根据三角形中位线定理解答即可；
（2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．
（1）①依据1：三角形的中位线定理．
依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
②菱形．
理由：如图1中，
∵AE＝BE，AH＝HD，
∴EH＝
BD，
∵DH＝HA，DG＝GC，
∴HG＝AC，
∴HE＝HG，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为三角形中位线定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，菱形．
（2）结论：四边形EFGH是菱形．
理由：如图2中，连接AC，BD
∵∠APB＝∠CPD
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD
即：∠BPD＝∠APC
∵PA＝PB，PC＝PD
∴△APC≌△BPD
∴AC＝BD
∴HG＝HE
由(1)可知：四边形EFGH是平行四边形
∴四边形EFGH是菱形．
（3）结论：正方形．
理由：如图2﹣1中，连接AC，BD，BD交AC于点O，交GH于点K，AC交PD于点J．
∵△APC≌△BPD，∠DPC＝90°，
∴∠PDB＝∠PCA，
∵∠PJC＝∠DJO，
∴∠CPJ＝∠DOJ＝90°，
∵HG∥AC，
∴∠BKG＝∠BOC＝90°，
∵EH∥BD，
∴∠EHG＝∠BKG＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
