Question

关于x的二次函数y=x²+2x+k-1的图象与x轴有交点，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当关于x的二次函数y=x²+2x+k-1与x轴的交点的横坐标均是负整数时，将关于x的二次函数y=x²+2x+k-1的图象向下平移4个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=

1

2

x+b（b＜3）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）综合根的判别式及k的要求，求出k的取值；
（2）对k的取值进行一一验证，求出符合要求的k值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；
（3）求出新抛物线与x轴的交点坐标，再分别求出直线y=

1

2

x+b经过点A、B时的b的取值，进而求出其取值范围．

解答：解：（1）由题意得，△=4-4（k-1）≥0．
∴k≤2．
∵k为正整数，
∴k=1，2；

（2）设方程x²+2x+k-1=0的两根为x₁，x₂，则
x₁+x₂=-2，x₁•x₂=k-1．
当k=1时，图象y=x²+2x+k-1与x轴有一个交点为（0，0），不合题意；
当k=2时，图象y=x²+2x+k-1与x轴有一个交点为（-1，0），符合题意；
综上所述，k=2符合题意．
当k=2时，二次函数为y=x²+2x+1，把它的图象向下平移4个单位得到的图象的解析式为：y=x²+2x-3；

（3）设二次函数y=x²+2x-3的图象与x轴交于A、B两点，则A（-3，0），B（1，0）．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线y=

1

2

x+b经过A点时，可得b=

3

2

；
当直线y=

1

2

x+b经过B点时，可得b=-

1

2

．
由图象可知，符合题意的b（b＜3）的取值范围为：-

1

2

＜b＜

3

2

．

点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考到了与一次函数的结合等问题．不错的题目，难度不大，综合性强．