Question

如图，一次函数y=-

2

3

x+2的图象分别与x轴、y轴交于A、B，以AB边在第一象限作△ABC，∠BAC=90°，且AB=AC，求过B、C的直线解析式

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,待定系数法求一次函数解析式

专题：代数几何综合题,数形结合,待定系数法

分析：先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式．

解答：解：∵一次函数y=-

2

3

x+2中，令x=0得：y=2．令y=0，解得x=3． 
∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（3，0）．   
如图，过点C作CD⊥x轴于点D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO
又∵AB=AC，∠BOA=∠CDA=90°
∴△ABO≌△CAD，
∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5．
则C的坐标是（5，3）．                    
设BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：

b=2  5k+b=3

，
解得

k= 1 5 b=2

．
则BC的解析式是：y=

1

5

x+2．
故答案是：y=

1

5

x+2．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定定理与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．