Question

如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB=，AD=2，BC=3，下列结论：①AC=2AB；②∠CAE=30°；③△ABE≌△AOD；④BO⊥CD；其中正确的是________（将正确序号都填上）．

Answer 1

①②③④
分析：根据梯形的性质和直角三角形中的边角关系，逐个进行验证，即可得出结论．
解答：在直角三角形ABC中，∵AB=，BC=3，
∴tan∠ACB=．
∴∠ACB=30°．
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2．故①是正确的；
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴CE=AD=2．
∴BE=1．
在直角三角形ABE中，tan∠BAE=，∠BAE=30°．
∴∠CAE=30°．故②是正确的；
∴AE=2BE=2．
∵AE=CE，
∴平行四边形ADCE是菱形．
∴∠DCE=∠DAE=60°．
∴∠BAE=30°
又∵∠CAE=30°
∴∠BAO=60°
又∵AB=AO
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°．
∴∠OBE=30°，
∵∠DCE=60°
∴BO⊥CD．④是正确的；
∵∠ACB=30°，AD∥BC，
∴∠DAC=30°，
AO=CO=AC=AB，
在△ABE和△AOD中
，
∴△ABE≌△AOD（SAS），故③正确．
综上所述：①②③④都是正确的，
故答案为：①②③④．
点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用．解答时证明出四边形AECD是菱形是解答本题的关键．