题目内容
如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯．已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78度．李师傅的身高为1.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便．他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？
（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70．）
【答案】分析：本题中问题的解决要弄清楚电工李师傅所站的地方离地面的高度，通过解直角三角形来解决．
首先可求得点A离地面的距离，再用相似三角形对应边成比例，或者同角三角函数的比例，求得第三级离地面的高度，即可求得他头顶离房顶的距离．
解答：
解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．
∵AB=AC，∴CE=
BC=0.5．
在Rt△AEC和Rt△DFC中，
∵tan78°=
，
∴AE=EC×tan78°≈0.5×4.70=2.35．
又∵sinα=
=
，DF=
•AE=
×AE≈1.007．
∴李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787．
头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787≈0.11．
∵0.05＜0.11＜0.20，
∴他安装比较方便．
点评：命题立意：考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．要求学生应用数学知识解决问题，在正确分析题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
首先可求得点A离地面的距离，再用相似三角形对应边成比例，或者同角三角函数的比例，求得第三级离地面的高度，即可求得他头顶离房顶的距离．
解答：
解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．∵AB=AC，∴CE=
BC=0.5．在Rt△AEC和Rt△DFC中，
∵tan78°=
，∴AE=EC×tan78°≈0.5×4.70=2.35．
又∵sinα=
=
，DF=
•AE=
×AE≈1.007．∴李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787．
头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787≈0.11．
∵0.05＜0.11＜0.20，
∴他安装比较方便．
点评：命题立意：考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．要求学生应用数学知识解决问题，在正确分析题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
练习册系列答案
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安装是否比较方便？（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21,tan78°≈4.70）
