Question

（2012•安溪县质检）如图，已知梯形ABCD，AB∥DC，∠A=90°，DC=7cm，AB=13cm，AD=8cm．点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→D→A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P运动时间为t（s）．
（1）求BC的长；
（2）当t=3时，求tan∠CPQ的值；
（3）当t为何值时，△PBQ的面积为21cm²．

Answer 1

分析：（1）过C作CM⊥AB于M，得出四边形ADCM是矩形，求出DC=AM=7，AD=CM=8，求出BM，根据勾股定理求出BC即可；
（2）先推出△CPQ是直角三角形，再根据锐角三角函数的定义求出即可；
（3）画出符合条件的三种情况，求出BP和高，根据三角形的面积公式得出关于t的方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）如图1，过C作CM⊥AB于M，
∵∠A=90°，
∴∠A=∠CMB=90°，
∴AD∥CM，
∵DC∥AB，
∴四边形ADCM是矩形，
∴DC=AM=7，AD=CM=8，
∴MB=13-7=6，
在Rt△CMB中，由勾股定理得：BC=

82+62

=10；

（2）如图2，过Q作QN⊥AB于N，
∵AM=7，AP=3，
∴PM=4，
∵CM=8，
在Rt△CPM中，由勾股定理得：CP²=4²+8²=80，
∵CM⊥AB，QN⊥AB，
∴CM∥QN，
∴△BNQ∽△BMC，
∴

QN

CM

=

BQ

BC

=

BN

BM

，
∵CM=8，BQ=2×3=6，BC=10，BM=6，
∴QN=4.8，BN=3.6，
∴PN=13-3-BN=6.4，
在Rt△PNQ中，由勾股定理得：PQ²=4.8²+6.4²=64，
∵CQ²=4²=16，PC²=80，
∴PQ²+CQ²=PC²，
∴∠PQC=90°，
∴tan∠CPQ=

CQ

PQ

=

4

8

=

1

2

；

（3）分为三种情况：①如图3，当Q在BC上时，过Q作QN⊥AB于N，
∵△BNQ∽△BMC，
∴

QN

CM

=

BQ

BC

，
∴

QN

8

=

2t

10

，
∴QN=1.6t，
∵△PBQ的面积为21cm²，
∴

1

2

BP×QN=21，
∴

1

2

（13-t）•1.6t=21，
解得：t=

5

2

，t=10.5，
∵Q在BC上，时间0＜t≤

10

2

（0＜t≤5），
∴t=10.5（舍去），
即t=

5

2

；
②如图4，
当Q在DC上时，过Q作QN⊥AB于N，
QN=CM=8，
∵△PBQ的面积为21cm²，
∴

1

2

BP×QN=21，
∴

1

2

（13-t）•8=21，
解得：t=

31

4

，
∵Q在BC上，时间

10

2

＜t≤

10+7

2

（5＜t≤8.5），
∴此时t的值符合，
即t=

31

4

；
③如图5，
当Q在AD上时，AQ=8+7+10-2t=25-2t，
∵△PBQ的面积为21cm²，
∴

1

2

BP×AQ=21，
∴

1

2

（13-t）•（25-2t）=21，
解得：t=16，t=

37

4

∵Q在AD上，时间

10+7

2

＜t＜

25

2

（8.5＜t＜12.5），
∴t=16舍去，
即t=

37

4

；
综合上述：当t的值是

5

2

s或

31

4

s或

37

4

s时，△PBQ的面积为21cm²．

点评：本题考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点的应用，第（2）和（3）问难度偏大，注意第（3）问要进行分类讨论啊．