Question

如图，⊙O的半径长为5，OC垂直弦AB于点C，OC的延长线交⊙O于点E，与过点B的⊙O的切线交于点F，已知CE=x．
（1）若x=2，求AB、BF的长；
（2）求EF•CO²的最大值．

Answer 1

解：（1）EC=2，则CO=5-2=3，
∵CO⊥AB，
∴AB=2CB，在Rt△BCO中，BO=5，
∴BC===4，
∴AB=8，
∵BF为⊙O的切线，
∴OB⊥BF，在△BOC和△OBF中
∵∠OCB=∠FBO=90°，∠BOC=∠BOF，
∴△BOC∽△OBF，
∴=，
∴=，
解得：BF=；

（2）∵∠CBF+∠OBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠CBF=∠BOC，又∠BCF=∠BCO=90°，
∴△BCO∽△FCB，
∴=，
∴BC²=OC×FC，
∵OC=5-x，OB=5，
∴BC²=BO²-CO²=25-（5-x）²，
∴25-（5-x）²=CO×FC=（5-x）×FC，
∴FC=，
∴EF×CO²=（FC-EC）×CO²
=（-x）（5-x）²
=5x（5-x）
=5[-（x-）²+]
=-5（x-）²+，
∴EF×CO²的最大值为．
分析：（1）利用切线的性质以及勾股定理得出AB的长，进而利用△BOC∽△OBF，得出即可；
（2）首先得出△BCO∽△FCB，进而用x表示出FC的长，即可利用二次函数最值求法得出即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的性质等知识，根据已知得出△BCO∽△FCB，进而表示出FC的长是解题关键．