Question

如图，⊙O的半径长为12cm，弦AB=12

3

cm．OC⊥AB．
（1）求弦心距OC的长及弓形AB的面积；（结果保留π）
（2）如果弦AB的两端点在圆周上滑动（AB弦长始终保持不变），那么弦AB的中点形成什么样的图形？

Answer 1

分析：（1）连OB，由OC⊥AB，得到AC=BC=6

3

，再根据勾股定理计算出OC=

122-(6 3 )2

=6，这样可得到∠AOB=120°，而S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△AOB，然后利用扇形和三角形的面积公式计算即可．
（2）由于AB弦长始终保持不变，可得到弦心距OC的长也不变，根据圆的定义即可得到弦AB的中点形成的图形．

解答：解：（1）连OB，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
而弦AB=12

3

cm，
∴AC=6

3

，
又∵⊙O的半径长为12cm，
∴OC=

122-(6 3 )2

=6，
∴∠A=30°，
∴∠AOB=120°，
∴S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△AOB=

120π×122

360

-

1

2

×6×12

3

=（48π-36

3

）cm²．
所以弦心距OC的长6cm，弓形AB的面积（48π-36

3

）cm²；

（2）∵AB弦长始终保持不变，
∴弦心距OC的长也不变，
即弦AB的中点C到圆心O的距离总为6，
所以弦AB的中点形成的图形是以O为圆心，以6为半径的圆，如图．

点评：本题考查了扇形的面积公式：S=

nπR2

360

，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=

1

2

lR，l为扇形的弧长，R为半径．也考查了垂径定理和勾股定理以及圆的定义．