Question

如图，抛物线y=x²+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

Answer 1

解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x²+mx+n，得

，

解得：．

∴抛物线的解析式为y=x²﹣x+3．

联立，

解得：或，

∴点B的坐标为（4，1）．

过点B作BH⊥x轴于H，如图1．

∵C（3，0），B（4，1），

∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，

∴BH=CH=1．

∵∠BHC=90°，

∴∠BCH=45°，BC=．

同理：∠ACO=45°，AC=3，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴tan∠BAC===；

（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．

过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．

设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．

∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，

∴∠APQ=∠ACB=90°．

若点G在点A的下方，

①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，

∴==．

∴AG=3PG=3x．

则P（x，3﹣3x）．

把P（x，3﹣3x）代入y=x²﹣x+3，得

x²﹣x+3=3﹣3x，

整理得：x²+x=0

解得：x₁=0（舍去），x₂=﹣1（舍去）．

②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG=PG=x，则P（x，3﹣x），

把P（x，3﹣x）代入y=x²﹣x+3，得

x²﹣x+3=3﹣x，

整理得：x²﹣x=0

解得：x₁=0（舍去），x₂=，

∴P（，）；

若点G在点A的上方，

①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，

同理可得：点P的坐标为（11，36）．

②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．

同理可得：点P的坐标为P（，）．

综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；

（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．

在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=AE，即AE=EN，

∴点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN．

作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，

则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，

∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．

根据两点之间线段最短可得：

当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．

此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，

∴四边形OCD′N是矩形，

∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．

对于y=x²﹣x+3，

当y=0时，有x²﹣x+3=0，

解得：x₁=2，x₂=3．

∴D（2，0），OD=2，

∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，

∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，

∴点E的坐标为（2，1）．