Question

【题目】如图，已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；

（3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0；（3）P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．

【解析】试题分析：（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；

（2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论；

（3）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB＝10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．

试题解析：

解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2＋bx＋c中，

得： ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，

∴顶点坐标为（1，﹣4）；

（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0；

（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），

∴AB＝4，

设P（x，y），则S△PAB＝AB|y|＝2|y|＝10，

∴|y|＝5，

∴y＝±5；

①当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣2，x2＝4，此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；

②当y＝﹣5时，x2﹣2x﹣3＝﹣5，方程无解；

综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．