Question

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．

（1）求证：△ABC≌△CDA．

（2）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；

（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等，请说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，∠ACD=∠BAC，

在△ABC和△CDA中，，

∴△ABC≌△CDA（ASA）；

（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC，△ABB′，△CBB′；

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，

∴△AB′C≌△ABC，

∴∠ACB=∠ACB′，AB=AB′，即△ABB′为等腰三角形，

∴∠DAC=∠ACB′，

∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，

∵CB=CB′，

∴△CBB′为等腰三角形；

（3）△AB′O≌△CDO，理由为：

证明：∵△AB′C≌△ABC，且△ABC≌△CDA，

∴△AB′C≌△CDA，

∴B′C=DA，AB′=CD，

又OA=OC，

∴DA﹣OA=B′C﹣OC，即OB′=OD，

在△AB′O和△CDO中，，

∴△AB′O≌△CDO．