Question

14．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，点F，过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点C，连接AC，BF．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）若AC=12，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求cos∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线；
（2）连接BE，构建直角△BEF．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x，BF=2x，进而可得EF=$\sqrt{5}$x；然后由面积法求得BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，所以根据垂径定理求得AB的长度，在Rt△ABC中，根据勾股定理易求BC的长；最后由余弦三角函数的定义求解．

解答 （1）证明：连接OA，
∵PA与圆O相切，
∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BP}\\{OP=OP}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴BP⊥OB，
则直线PB为圆O的切线；

（2）解：连接BE，则∠FBE=90°．
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴可设BE=x，BF=2x，
则由勾股定理，得
EF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∵$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$EF•BD，
∴BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2BD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，
∴Rt△ABC中，BC=$\sqrt{5}$x，
AC²+AB²=BC²，
∴12²+（ $\frac{4\sqrt{5}}{5}$x）²=（ $\sqrt{5}$x）²，
解得：x=4 $\sqrt{5}$，
∴BC=4 $\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=20，
∴cos∠ACB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$．

点评 此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．