题目内容

如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．

(1)求直线AB的解析式；

(2)当点P运动到点(，0)时，求此时DP的长及点D的坐标；

(3)是否存在点P，使△OPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　(1)如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得BF＝OE＝2，OF＝＝

　　∴点B的坐标是(，2)……(1分)

　　设直线AB的解析式是y＝kx＋b，则有解得……(2分)

　　∴直线AB的解析式是y＝x＋4……(1分)

　　(2)如图，∵△ABD由△AOP旋转得到，

　　∴△ABD≌△AOP，∴AP＝AD，∠DAB＝∠PAO，∴∠DAP＝∠BAO＝600，

　　∴△ADP是等边三角形，

　　∴DP＝AP＝．……(2分)

　　如图，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．

　　方法(一)

　　在Rt△BDG中，∠BGD＝900，∠DBG＝600．

　　∴BG＝BD·cos600＝×＝．

　　DG＝BD·sin600＝×＝．

　　∴OH＝EG＝，DH＝

　　∴点D的坐标为(，)……(2分)

　　方法(二)

　　易得∠AEB＝∠BGD＝900，∠ABE＝∠BDG，∴△ABE∽△BDG，

　　∴而AE＝2，BD＝OP＝，BE＝2，AB＝4，则有

　　，解得BG＝，DG＝∴OH＝，DH＝

　　∴点D的坐标为(，)……(2分)

　　(3)假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于．

　　设点P为(t，0)，下面分三种情况讨论：

　　①当t＞0时，如图，BD＝OP＝t，DG＝t，

　　∴DH＝2＋t．∵△OPD的面积等于，

　　∴，

　　解得，(舍去)．

　　∴点P1的坐标为(，0)

　　②当＜t≤0时，如图，BD＝OP＝－t，BG＝－t，

　　∴DH＝GF＝2－(－t)＝2＋t．

　　∵△OPD的面积等于，

　　∴，

　　解得，．

　　∴点P2的坐标为(，0)，点P3的坐标为(，0)．

　　③当t≤时，如图，BD＝OP＝－t，DG＝－t，

　　∴DH＝－t－2．

　　∵△OPD的面积等于，

　　∴，

　　解得(舍去)，

　　∴点P4的坐标为(，0)

　　综上所述，点P的坐标分别为P1(，0)、P2(，0)、P3(，0)、P4(，0)……(4分)


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BD
AB
=
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k
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k
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