Question

如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．设运动时间为t秒．

(1)求线段BC的长；

(2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：

(3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE¹F¹，使点E的对应点E¹落在线段AB上，点F的对应点是F¹，E¹F¹交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ－PF＝QG？

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由△AOB为等边三角形得∠ACB＝∠OBC＝30°， 　　由此CO＝OB＝AB＝OA＝3，在RT△ABC中，AC为6，从而BC＝ 　　(2)过点Q作QN∥0B交x轴于点N，先证△AQN为等边三角形，从而NQ＝NA＝AQ＝3－t，NON＝3－(3－t)＝t 　　PN＝t＋t＝2t，再由△POE∽△PNQ后对应边成比例计算得再由EF＝BE易得出m与t之间的函数关系式 　　(3)先证△AE’G为等边三角形，再证∠QGA＝90° 　　通过两边成比例夹角相等得△FCP∽△BCA再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通过解方程求出 　　解答：(1)解：图l∵△AOB为等边三角形　∴∠BAC＝∠AOB＝60． 　　∵BC⊥AB∴∠ABC＝90°　∴∠ACB＝30°∠OBC＝30° 　　∴∠ACB＝∠OBC　∴CO＝OB＝AB＝OA＝3 　　∴AC＝6　∴BC＝AC＝ 　　(2)解：图l过点Q作QN∥0B交x轴于点N 　　∴∠QNA＝∠BOA＝60°＝∠QAN　∴QN＝QA 　　∴△AQN为等边三角形 　　∴NQ＝NA＝AQ＝3－t 　　∴NON＝3－(3－t)＝t 　　∴PN＝t＋t＝2t 　　∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ 　　∴ 　　∴∴ 　　∵EF∥x轴 　　∴∠BFE＝∠BCO＝∠FBE＝30° 　　∴EF＝BE∴m＝BE＝OB－OE(0＜t＜3) 　　(3)解：图2 　　 　　∴∠AEG＝600＝∠EAG 　　∴GE1＝GA　∴△AE’G为等边三角形 　　 　　 　　∴∠l＝∠2　∠3＝∠4 　　∵∠l＋∠2＋∠3＋∠4＝180°∴∠2＋∠3＝90° 　　即∠QGA＝90° 　　∵EF∥OC 　　 　　 　　 　　∵∠FCP＝∠BCA 　　∴△FCP∽△BCA 　　∵2BQ－PF＝QG∴∴t＝1∴当t＝1时，2BQ－PF＝QG

提示：

考点：等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定，一元一次方程