Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知3AE=BE=6，则CF的长是（　　）

• A．12
• B．16
• C．12

  3

• D．16

  3

Answer 1

分析：首先连接OC，由3AE=BE=6，可求得直径AB的长，半径OA与OC的长，然后由在Rt△COE中，cos∠COE=

OE

OC

=

1

2

，可求得∠AOC=60°，即可证得△AOC是等边三角形，求得AC的长，又由BF是⊙O的切线，CD⊥AB，可证得CD∥BF，然后利用平行线分线段成比例定理，即可求得答案．

解答：解：连接OC，
∵3AE=BE=6，
∴AE=2，AB=AE+BE=8，
∴OC=OA=

1

2

AB=4，
∴OE=OA-AE=2，
在Rt△COE中，cos∠COE=

OE

OC

=

1

2

，
∴∠COE=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OA=OC=4，
∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∵CD⊥AB，
∴CD∥BF，
∴AC：CF=AE：BE=1：3，
∴CF=3AC=12．
故选A．

点评：此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值以及平行线分线段成比例定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．