Question

3．求方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=3}\\{{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}=3}\end{array}\right.$的所有整数解．

Answer 1

分析 原方程组化为x+y=3-z③和x³+y³=3-z³④，由③④得出xy=$\frac{8-9z+3{z}^{2}}{3-z}$⑥，把x，y看成是以下二次方程的两个整数根：t²-（3-z）t+$\frac{8-9z+3{z}^{2}}{3-z}$=0，用求根公式解方程，再判断△为整数时，z为整数时的可能，进而得出对应的整数x，y．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=3①}\\{{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}=3②}\end{array}\right.$，
①化为：x+y=3-z③，
②化为：x³+y³=3-z³④
③³-④，化简得，xy（x+y）=8-9z+3z²⑤
①代入⑤，可化简得，xy=$\frac{8-9z+3{z}^{2}}{3-z}$⑥，
由③、⑥知，x、y是以下二次方程的两个整数根：t²-（3-z）t+$\frac{8-9z+3{z}^{2}}{3-z}$=0，
∴t=$\frac{（3-z）±\sqrt{（3-z）^{2}-4×\frac{8-9z+3{z}^{2}}{3-z}}}{2}$
而△=$（3-z）^{2}-4×\frac{8-9z+3z2}{3-z}=（z-1）^{2}×\frac{z+5}{z-3}$=（z-1）²×（1+$\frac{8}{z-3}$）
∵x，y，z是整数，
∴t是整数，
∴（z-1）²×（1+$\frac{8}{z-3}$）是整数，
∴Ⅰ、当z-1=0时，即：z=1时，x=y=1；
Ⅱ、当z-3=1时，即：z=4时，x=4，y=-5或x=-5，y=4；
Ⅲ、当z-3=-8时，即：z=-5时，x=y=4，
∴方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=3}\\{{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}=3}\end{array}\right.$的所有整数解有四组，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\\{z=1}\end{array}\right.$   或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-5}\\{z=4}\end{array}\right.$  或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=4}\\{z=4}\end{array}\right.$   或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\\{z=-5}\end{array}\right.$．

点评 此题是非不定一次不定方程组，主要考查了一元二次方程的解法，满足整数解得条件，解本题的关键是将x，y作为一个一元二次方程的整数解，难点是△的化简处理，计算量比较大，是一道难度比较大的竞赛题．