Question

若x+y=a+b，且x²+y²=a²+b²，求证：x¹⁹⁹⁷+y¹⁹⁹⁷=a¹⁹⁹⁷+b¹⁹⁹⁷．

Answer 1

分析：首先联立已知两个等式组成方程组，然后解方程组可以得到x、y与a、b的关系，接着代入证明的等式即可解决问题．

解答：解：
依题意得：

x+y=a+b① x2+y2=a2+b2②

，
由①²-②得：2xy=2ab  ③
②-③得：（x-y）²=（a-b）²，
∴|x-y|=|a-b|，
即x-y=a-b或x-y=b-a，
分别联立①解之得

x=a y=b

或

x=b y=a

，
∴x¹⁹⁹⁷+y¹⁹⁹⁷=a¹⁹⁹⁷+b¹⁹⁹⁷．

点评：此题主要考查了整式的等式证明，解题的关键是利用完全平方公式得到

x=a y=b

或

x=b x=a

，然后即可求解．