Question

如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，

1

2

AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．
（1）求证：D是

AE

的中点；
（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若

S△CEF

S△OCD

 =

1

2

，且AC=4，求CF的长．

Answer 1

分析：（1）判断出OD⊥AE，则利用垂径定理可得出点D是

AE

的中点；
（2）延长AD交BC于H，利用外角可得出∠AHC=∠B+∠BAD，再由OA=OD，可得出结论．
（3）根据OA=OC可得出△OCD和△ACD的面积比，从而结合

S△CEF

S△OCD

 =

1

2

可得出△CEF和△ACD的面积比，判断出△ACD∽△FCE，利用面积比等于相似比的平方即可解出CF的值．

解答：证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴AE⊥BC，
∵OD∥BC
∴AE⊥OD，
∴D是

AE

的中点（垂径定理）．
（2）如图，延长AD交BC于H，

则∠ADO=∠AHC，
∵∠AHC=∠B+∠BAD，
∴∠ADO=∠B+∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DAO=∠B+∠BAD．
（3）∵AO=OC，
∴S△OCD=

1

2

S△ACD，
∵

S△CEF

S△OCD

=

1

2

，
∴

S△CEF

S△ACD

=

1

4

，
∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，
∴△ACD∽△FCE，
∴

S△CEF

S△ACD

=(

CF

AC

)2，即：

1

4

=(

CF

4

)2，
∴CF=2．

点评：此题属于圆的综合题，涉及了垂径定理、三角形的外角、相似三角形的判定与性质，要求我们掌握底边在一条直线上且高相等的三角形的面积之比等于底边之比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，难度较大．