题目内容
（2012•武汉模拟）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．
（1）如图1，若折痕AE=5
，且tan∠EFC=
，求矩形ABCD的周长；
（2）如图2，在AD边上截取DG=CF，连接GE，BD，相交于点H，求证：BD⊥GE．
（1）如图1，若折痕AE=5
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（2）如图2，在AD边上截取DG=CF，连接GE，BD，相交于点H，求证：BD⊥GE．
分析：（1）设EC=3k，则FC=4k，EF=5k，然后判断出∠BAF=∠EFC，利用三角函数的知识表示出BF、AF，结合AE的长，在RT△AFE中利用勾股定理可求出矩形ABCD的边长，继而可得出周长．
（2）根据题意可得GD=FC，DE=EF，然后表示出cos∠EFC，及cos∠BAF，根据∠BAF=∠EFC，可得出一对相等的比例关系，继而可判断出△DBA∽△EGD，得出∠DBA=∠EGD，然后利用等角代换可确定结论．
（2）根据题意可得GD=FC，DE=EF，然后表示出cos∠EFC，及cos∠BAF，根据∠BAF=∠EFC，可得出一对相等的比例关系，继而可判断出△DBA∽△EGD，得出∠DBA=∠EGD，然后利用等角代换可确定结论．
解答：解：（1）设EC=3k，由tan∠EFC=
，则FC=4k，EF=5k，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=8k，
∵∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=
，
∴BF=6k，AF=10k，
在RT△AFE中，AF2+EF2=AE2，AE=5
，
∴100k2+25k2=（5
）2，
解得：k=1，
∴AB=DC=8，BC=AD=AF=10，
所以矩形ABCD的周长为36．
（2）∵GD=FC，DE=EF，
∴cos∠EFC=
=
，
∵cos∠BAF=
=
，∠BAF=∠EFC，
∴
=
，
∴△DBA∽△EGD，
∴∠DBA=∠EGD，
∵∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠DGH+∠GDH=90°，
∴∠GHD=90°，
故可得BD⊥GE．
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∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=8k，
∵∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=
| 3 |
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∴BF=6k，AF=10k，
在RT△AFE中，AF2+EF2=AE2，AE=5
| 5 |
∴100k2+25k2=（5
| 5 |
解得：k=1，
∴AB=DC=8，BC=AD=AF=10，
所以矩形ABCD的周长为36．
（2）∵GD=FC，DE=EF，
∴cos∠EFC=
| FC |
| EF |
| DG |
| DE |
∵cos∠BAF=
| AB |
| AF |
| AB |
| AD |
∴
| DG |
| DE |
| AB |
| AD |
∴△DBA∽△EGD，
∴∠DBA=∠EGD，
∵∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠DGH+∠GDH=90°，
∴∠GHD=90°，
故可得BD⊥GE．
点评：此题考查了翻折变换及相似三角形的判定与性质，综合的知识点较多，解答第一问要求我们能根据三角函数值正确表示出三角形的各边长，第二问要求我们熟练相似三角形的判定定理，及相似三角形的性质．
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