Question

【题目】如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形．点，，在一条直线上，，、分别是对角线、的中点．当点在线段上移动时，点、之间的距离最短为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接PM、PN，根据菱形的性质求出∠CAP=30°，∠MPC=∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°，从而求出∠MPN=90°，设AP=x，则PB=2a－x，然后利用锐角三角函数求出PM和PN，然后利用勾股定理求出MN2与x的函数关系式，化为顶点式即可求出MN2的最小值，从而求出结论．

解：连接PM、PN

∵四边形和四边形为菱形，

∴∠CPA=180°－∠DAP=120°，∠EPB=∠DAP=60°，PM⊥AC，PN⊥EB，AC平分∠DAP，PM平分∠APC，PN平分∠EPB

∴∠CAP=30°，∠MPC=∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°

∴∠MPN=∠MPC＋∠EPN=90°

设AP=x，则PB=2a－x

∴PM=AP·sin∠CAP=，PN=PB·cos∠BPN=（2a－x）

在Rt△MON中

MN2= PM2＋PN2=＋（2a－x）2=（x－a）2＋a2

当x=a时，MN2取最小值，最小为a2

∴MN的最小值为

故答案为：．