题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且
，sin∠OAB=
。
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在（1）中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k ，0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为
，△QNR的面积
，求
∶
的值。
，sin∠OAB=
。（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在（1）中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k ，0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为
，△QNR的面积
，求
∶
的值。 
| 解：（1）如图，过点B作于点D， 在  中，∵  ，∴  ，又由勾股定理，得  ，∴  ∵点B在第一象限内， ∴点B的坐标为（4，3）， ∴点B关于x轴对称的点C的坐标为（4，-3）， 设经过  三点的抛物线的函数表达式为 ，由  ∴经过  三点的抛物线的函数表达式为 ；（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使  以为顶点的四边形为梯形，①∵点  不是抛物线 的顶点，∴过点C作直线OA的平行线与抛物线交于点P1 则直线  的函数表达式为y=-3， ，令 或 ，∴  而点  ，在四边形  中， ，显然 ∴点  是符合要求的点②若  ，设直线CO的函数表达式为 ，将点  代入，得 ，∴直线CO的函数表达式为  ，于是可设直线  的函数表达式为 将点  代入，得 ∴直线  的函数表达式为 由  ，即 ，∴  而点  ，过点  作 轴于点E，则 ，在  中，由勾股定理，得 而  ，∴在四边形  中， ，但 ，∴点  是符合要求的点，③若  ，设直线CA的函数表达式为 ，将点  代入，得 ∴直线CA的函数表达式为  ，∴直线  的函数表达式为 ，由  ，即 ，∴  而点  ，过点  作 轴于点F，则 ，在  中，由勾股定理，得， 而  ∴在四边形  中， ，但 ，∴点  是符合要求的点，综上可知，在（1）中的抛物线上存在点  ，使以 为顶点的四边形为梯形；（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下， ①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的负半轴交于点N， 可设抛物线的函数表达式为  ，即  ，如图，过点M作  轴于点G∵  ， ，∴  ， ∴      ∴  ②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N， 同理，可得  ，综上可知，  的值为 。 |
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