题目内容

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，又正比例函数y=kx的图象与二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点．
（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；
（2）已知点E（2，3），且二次函数的函数值大于正比例函数值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；
（3）当k为何值时且0＜k＜2，求四边形PCMB的面积为 $数学公式$ ．
（参考公式：已知两点D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则线段DE的中点坐标为 $数学公式$ ）

解：（1）由y=ax²+bx+c，则得：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故函数解析式为：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
得出点M（1，4）．

（2）由点E（2，3）在正比例函数y=kx的图象上得：
3=2k，
k= $\text{[math]}$ ，故y= $\text{[math]}$ x，
由 $\text{[math]}$ ，
解得； $\text{[math]}$ ，
故D点坐标为：（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量x的取值范围是- $\text{[math]}$ ＜x＜2．

（3） $\text{[math]}$ ，
解得：点D，E坐标为D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ •k），
E（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ •k），
则点P坐标为P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ •k）由0＜k＜2，知点P在第一象限，
由点B（3，0），C（0，3），M（1，4），
得S_{四边形POMB}= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ×2×4= $\text{[math]}$ ，
则S_{四边形PCMB}= $\text{[math]}$ -S_△OPC-S_△OPB= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×3× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×3× $\text{[math]}$ •k，
整理得出：S_{四边形PCMB}= $\text{[math]}$ （k- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
要求当k为何值时且0＜k＜2，四边形PCMB的面积为 $\text{[math]}$ ，
得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （k- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
即0= $\text{[math]}$ （k- $\text{[math]}$ ）²，
故当k= $\text{[math]}$ 时，四边形PCMB的面积为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），可求二次函数解析式，并确定顶点坐标；
（2）把E（2，3）代入y=kx中得正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和抛物线解析式，可得D点坐标，根据图象求出符合条件的x的范围；
（3）求直线与抛物线的交点D，E的坐标，根据中点坐标公式求出P点坐标，利用割补法表示四边形PCMB的面积，进而得出四边形PCMB的面积为 $\text{[math]}$ 时，k的值．
点评：本题考查了二次函数解析式的求法以及四边形面积运算，学会用两个函数交点横坐标表示两个函数值的大小关系，并对二次函数进行运用是解题重点．