题目内容
已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（-3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示。
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。
（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。
（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。
解：（1）由题意易知：△BOC∽△COA，
∴
，
即
∴
∴点C的坐标是（0，
）
由题意，可设抛物线的函数解析式为
把A（1，0），B（-3，0）的坐标分别代入
，
得
解这个方程组，得
∴抛物线的函数解析式为
；
（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF
理由如下：
可求得直线
的解析式为
，
直线
的解析式为
抛物线的对称轴为直线
由此可求得点K的坐标为（-1，
），点D的坐标为（-1，
），点E的坐标为（-1，
），点F的坐标为（-1，0）
∴KD=
，DE=
，EF=
∴KD=DE=EF
（3）（i）以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点M1，由抛物线对称性可知点M1为点C关于直线
的对称点
∴点
的坐标为（-2，
），此时△
为等腰三角形
（ii）当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点
和点A，而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形
（iii）作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且
，可知l经过点D，
∴KD=DC
此时，有点
即点D坐标为（-1，
），使△
为等腰三角形；
综上所述，当点M的坐标分别为（-2，
），（-1，
）时，△MCK为等腰三角形。
∴
，即
∴
∴点C的坐标是（0，
） 由题意，可设抛物线的函数解析式为
把A（1，0），B（-3，0）的坐标分别代入
，得
解这个方程组，得
∴抛物线的函数解析式为
；（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF
理由如下：
可求得直线
的解析式为，直线
的解析式为 抛物线的对称轴为直线
由此可求得点K的坐标为（-1，
），点D的坐标为（-1，），点E的坐标为（-1，），点F的坐标为（-1，0） ∴KD=
，DE=，EF= ∴KD=DE=EF
（3）（i）以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点M1，由抛物线对称性可知点M1为点C关于直线
的对称点 ∴点
的坐标为（-2，），此时△为等腰三角形 （ii）当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点
和点A，而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形 （iii）作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且
，可知l经过点D， ∴KD=DC
此时，有点
即点D坐标为（-1，），使△为等腰三角形； 综上所述，当点M的坐标分别为（-2，
），（-1，）时，△MCK为等腰三角形。 
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