题目内容
（2012•成华区一模）已知两直线l1、l2分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两条直线同时相交于y轴负半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形的面积等于△ABC的面积的
| 3 | 2 |
（3）将直线l1按顺时针方向绕点C旋转α°（0＜α＜90），与抛物线的另一个交点为M．求在旋转过程中△MCK为等腰三角形时的α的值．
分析：（1）在Rt△ABC中，由射影定理可求出OC的长，由此确定点C的坐标；知道A、B、C三点坐标后，利用待定系数法可确定该抛物线的解析式．
（2）此题中，以A、B、C、P为顶点的四边形可分作两部分，若该四边形的面积是△ABC面积的1.5倍，那么四边形中除△ABC以外部分的面积应是△ABC面积的一半，分三种情况：
①当点P在x轴上方时，△ABP的面积应该是△ABC面积的一半，因此点P的纵坐标应该是点C纵坐标绝对值的一半，代入抛物线解析式中即可确定点P的坐标；
②当点P在B、C段时，显然△BPC的面积要远小于△ABC面积的一半，此种情况不予考虑；
③当点P在A、C段时，由A、C的长以及△ACP的面积可求出点P到直线AC的距离，首先在射线CK上取线段CD，使得CD的长等于点P到直线AC的距离，先求出过点D且平行于l1的直线解析式，这条直线与抛物线的交点即为符合条件的点P．
（3）从题干的旋转条件来看，直线l1旋转的范围应该是l1、l2中间的部分，而△MCK的腰和底并不明确，所以分情况讨论：①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK；
求出点K的坐标、∠BCO的度数结合上述三种情况求解．
（2）此题中，以A、B、C、P为顶点的四边形可分作两部分，若该四边形的面积是△ABC面积的1.5倍，那么四边形中除△ABC以外部分的面积应是△ABC面积的一半，分三种情况：
①当点P在x轴上方时，△ABP的面积应该是△ABC面积的一半，因此点P的纵坐标应该是点C纵坐标绝对值的一半，代入抛物线解析式中即可确定点P的坐标；
②当点P在B、C段时，显然△BPC的面积要远小于△ABC面积的一半，此种情况不予考虑；
③当点P在A、C段时，由A、C的长以及△ACP的面积可求出点P到直线AC的距离，首先在射线CK上取线段CD，使得CD的长等于点P到直线AC的距离，先求出过点D且平行于l1的直线解析式，这条直线与抛物线的交点即为符合条件的点P．
（3）从题干的旋转条件来看，直线l1旋转的范围应该是l1、l2中间的部分，而△MCK的腰和底并不明确，所以分情况讨论：①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK；
求出点K的坐标、∠BCO的度数结合上述三种情况求解．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，OB=1，OA=3，且CO⊥AB；
∴OC=
=
，则 C（0，-
）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入点C的坐标后，得：
a（0+1）（0-3）=-
，a=
∴抛物线的解析式：y=
（x+1）（x-3）=
x2-
x-
．
（2）易知OA=3、OB=1、OC=
，则：S△ABC=
AB•OC=
×4×
=2
．
①当点P在x轴上方时，由题意知：S△ABP=
S△ABC，则：
点P到x轴的距离等于点C到x轴距离的一半，即 点P的纵坐标为
；
令y=
x2-
x-
=
，化简得：2x2-4x-9=0
解得 x=
；
∴P1（
，
）、P2（
，
）；
②当点P在抛物线的B、C段时，显然△BCP的面积要小于
S△ABC，此种情况不合题意；
③当点P在抛物线的A、C段时，S△ACP=
AC•h=
S△ABC=
，则h=1；
在射线CK上取点D，使得CD=h=1，过点D作直线DE∥l1，交y轴于点E，如右图；
在Rt△CDE中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，则CE=
、OE=OC+CE=
，点E（0，-
）
∴直线DE：y=
x--
，联立抛物线的解析式，有：
，解得：
、
∴P3（1，-
）、P4（2，-
）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（
，
）、（
，
）、（1，-
）、（2，-
）．
（3）由（1）知：y=
x2-
x-
=
（x-1）2-
，
∴抛物线的对称轴 x=1；
在Rt△OBC中，OB=1，OC=
，则∠BCO=∠1=30°、∠2=∠3=90°-∠BCO=60°、BC=2；
过点C作直线CN∥x轴，交抛物线于点N，如右图；
由抛物线的对称性可得：N（2，-
），所以 CN=2；
易知直线BC：y=-
x-
，则 K（1，-2
），CK=
=2；
在△CKN中，∠2=60°，CN=CK=2，那么△CKN是等边三角形----①．
Ⅰ、KC=KM时，点C、M关于抛物线的对称轴对称，符合①的情况，即点M、N重合；
Ⅱ、KC=CN时，由于KC=BC，所以此时点M与B、N重合；
Ⅲ、MK=MC时，点M在线段CK的中垂线上，CK的中垂线与抛物线相交于点N或者相交于抛物线的顶点．
综上，符合条件的直线l1的旋转角度α=60°或α=∠ACN=90°-∠2=30°．
∴OC=
| OA•OB |
| 3 |
| 3 |
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入点C的坐标后，得：
a（0+1）（0-3）=-
| 3 |
| ||
| 3 |
∴抛物线的解析式：y=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 3 |
（2）易知OA=3、OB=1、OC=| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
①当点P在x轴上方时，由题意知：S△ABP=
| 1 |
| 2 |
点P到x轴的距离等于点C到x轴距离的一半，即 点P的纵坐标为
| ||
| 2 |
令y=
| ||
| 3 |
2
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| 3 |
| 3 |
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| 2 |
解得 x=
2±
| ||
| 2 |
∴P1（
2-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
2+
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
②当点P在抛物线的B、C段时，显然△BCP的面积要小于
| 1 |
| 2 |
③当点P在抛物线的A、C段时，S△ACP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
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在射线CK上取点D，使得CD=h=1，过点D作直线DE∥l1，交y轴于点E，如右图；
在Rt△CDE中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，则CE=
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5
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| 3 |
5
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∴直线DE：y=
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5
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∴P3（1，-
4
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| 3 |
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（
2-
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| 2 |
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| 2 |
2+
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4
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| 3 |
（3）由（1）知：y=
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2
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4
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∴抛物线的对称轴 x=1；
在Rt△OBC中，OB=1，OC=
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过点C作直线CN∥x轴，交抛物线于点N，如右图；
由抛物线的对称性可得：N（2，-
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易知直线BC：y=-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
(-1-0)2+(-2
|
在△CKN中，∠2=60°，CN=CK=2，那么△CKN是等边三角形----①．
Ⅰ、KC=KM时，点C、M关于抛物线的对称轴对称，符合①的情况，即点M、N重合；
Ⅱ、KC=CN时，由于KC=BC，所以此时点M与B、N重合；
Ⅲ、MK=MC时，点M在线段CK的中垂线上，CK的中垂线与抛物线相交于点N或者相交于抛物线的顶点．
综上，符合条件的直线l1的旋转角度α=60°或α=∠ACN=90°-∠2=30°．
点评：该题考查了利用待定系数法确定函数解析式，图形面积的解法以及等腰三角形的判定和性质等重点知识；后两题涉及的情况较多，应分类进行讨论，容易漏解．
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