Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-$\frac{1}{2}$x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，点O落在点O′处，则点O′的坐标为（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）．

Answer 1

分析 根据已知条件得到OA=2，OB=1，根据折叠的性质得到AO′=AO=2，BO′=BO=1，∠AO′B=90°，延长AC交y轴于C，过O′作O′D⊥OA于D，根据相似三角形的性质得到BC=$\frac{5}{3}$，CO′=$\frac{4}{3}$，得到OC=$\frac{8}{3}$，AC=$\frac{10}{3}$，根据O′D∥OC，得到△ADO′∽△AOC，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：在y=-$\frac{1}{2}$x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，得x=2，
∴A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
∵将△AOB沿直线AB翻折，点O落在点O′处，
∴AO′=AO=2，BO′=BO=1，∠AO′B=90°，
延长AC交y轴于C，
过O′作O′D⊥OA于D，
∴∠CO′B=∠AOC=90°，
∵∠BCO′=∠ACO，
∴△BCO′∽△ACO，
∴$\frac{CO′}{OC}=\frac{O′B}{OA}=\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{CO′}{1+BC}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{BC}{2+OC}$，
∴BC=$\frac{5}{3}$，CO′=$\frac{4}{3}$，
∴OC=$\frac{8}{3}$，AC=$\frac{10}{3}$，
∵O′D⊥OA，
∴O′D∥OC，
∴△ADO′∽△AOC，
∴$\frac{DO′}{OC}$=$\frac{AO′}{AC}$=$\frac{AD}{AO}$，即$\frac{DO′}{\frac{8}{3}}$=$\frac{2}{\frac{10}{3}}$=$\frac{AD}{2}$，
∴DO′=$\frac{8}{5}$，AD=$\frac{6}{5}$，
∴OD=$\frac{4}{5}$，
∴O′（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$），
故答案为：（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．