Question

 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；

（3）若∠APD=90°，求y的最小值．

Answer 1

（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x，

∴AE=AB•sinB=x，∵S_△APD=AD•AE=，

∴•y•x=， 则y=；

（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，

∴∠BAP=∠CPD，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴∠B=∠C，AB=CD，

∴△ABP∽△PCD，∴=，∴PB•PC=AB•DC=AB²，

当y=1时，x=，即AB=，则PB•PC=（）²=2；

（3）如图2，取AD的中点F，连接PF，过P作PH⊥AD，可得PF≥PH，

当PF=PH时，PF有最小值，∵∠APD=90°，∴PF=AD=y，∴PH=y，

∵S_△APD=•AD•PH=，∴•y•y=，即y²=2，∵y＞0，∴y=，

则y的最小值为．