Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的"距离"，记作d(M，N) ． 特别的，当图形M，N有公共点时，记作d(M，N)=0.一次函数y=kx+2的图像为L，L 与y 轴交点为D, △ABC中，A（0，1），B（-1，0），C（1，0）．

（1）求d(点 D , △ABC)= ；当k=1时，求d( L , △ABC)= ；

（2）若d(L, △ABC)=0.直接写出k的取值范围；

（3）函数y=x+b的图像记为W , 若d(W，△ABC) 1 ,求出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）d(点 D , △ABC)=1 ， d( L , △ABC)= ;（2）k≥2或k≤-2 .;（3）d(W，△ABC) 1时，-1- b 1+.

【解析】

（1）根据新定义，转化为实际是求点D到点A的距离，当k＝1时，求d（L，△ABC）实际是求两条平行线之间的距离，通过作垂线，转化为直角三角形用勾股定理求得；

（2）若d（L，△ABC）＝0就是求直线L与三角形ABC有公共点，可以先考虑仅有一个公共点时k的值，然后根据一次函数的性质，求得k的取值范围；

（3）函数y＝x＋b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1就是求W到三角形ABC的距离小于或等于1，可以先求距离为1时的b的值，然后根据一次函数的性质，求得b的取值范围．

解：（1）一次函数y＝kx＋2的图象与y轴交点D（0，2），

d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝21＝1，

∴d（点D，△ABC）＝1

当k＝1时，直线y＝x＋2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，

d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，

在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×，d（L，△ABC）＝，

故答案为：1，；

（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx＋2与△ABC有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，

即直线L过B点，或过C点，

此时可求出k＝2或k＝2，根据直线L与△ABC有公共点，

∴k≥2或k≤2，

答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤2．

（3）函数y＝x＋b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x＋b的图象与AB平行，

当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：

在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1＋，M（0，1＋）；即：b＝1＋；

同理：OQ＝OP＝1＋，Q（0，1），即：b＝1，

若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间，

∴1≤b≤1＋，

答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为：1≤b≤1＋．