题目内容

求证：四个连续整数的乘积与1的和必是一个完全平方数．

答案：
解析：

　　证明：设四个连续的整数依次为m，m＋1，m＋2，m＋3

　　则m(m＋1)(m＋2)(m＋3)＋1

　　＝[(m＋3)][(m＋1)(m＋2)]＋1

　　＝(m²＋3m)[(m²＋3m)＋2]＋1

　　＝(m²＋3m)²＋2(m²＋3m)＋1

　　＝(m²＋3m＋1)²

　　又m是整数，∴m²＋3m＋1是整数．

　　故m(m＋1)(m＋2)(m＋3)＋1＝(m²＋3m＋1)²是一完全平方数．

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（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a²+b²=c²，求证：ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数．
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，如
①公式a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²（m、n为整数，m＞n，m＞1）
②世界上第一次给出的勾股数的公式，被收集在《九章算术》中a=

(m2-n2)，b=mn，c=

(m2+n2)（m、n为正整数，m＞n）
③公元前427-公元前347，由柏拉图提出的公式a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n为整数）
④毕达哥拉斯学派提出的公式a=2n+1，b=2n²+2n，c=2n²+2n+1（n为正整数），请你在上述的四个公式中选择一种加以证明，满足公式的a、b、c是一组勾股数
（3）请根据你在（2）中所选的公式写出一组勾股数．

求证：四个连续自然数的积与1的和，必是某一个整数的平方。

求证：四个连续整数的积加1是某个整数的平方．

我们已经知道了一些特殊的勾股数，如三个连续整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数．
（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a²+b²=c²，求证：ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数．
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，如
①公式a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²（m、n为整数，m＞n，m＞1）
②世界上第一次给出的勾股数的公式，被收集在《九章算术》中 $数学公式$ ，b=mn， $数学公式$ （m、n为正整数，m＞n）
③公元前427-公元前347，由柏拉图提出的公式a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n为整数）
④毕达哥拉斯学派提出的公式a=2n+1，b=2n²+2n，c=2n²+2n+1（n为正整数），请你在上述的四个公式中选择一种加以证明，满足公式的a、b、c是一组勾股数
（3）请根据你在（2）中所选的公式写出一组勾股数．