Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝BC,E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF,交BE于点D,且∠ACF＝∠CBE,CG平分∠ACB交BD于点G,

(1)如图1,求证:CF＝BG;

(2)如图2,延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P,

求证:PB＝CP＋CF;

(3)如图3，在(2)间的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6,求AC的长.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）3+3

【解析】

（1）根据ASA证明△BCG≌△CAF，则CF=BG；
（2）先证明△ACG≌△BCG，得∠CAG=∠CBE，再证明∠PCG=∠PGC，即可得出结论；
（3）作△AEG的高线EM，根据角的大小关系得出∠CAG=30°，根据面积求出EM的长，利用30°角的三角函数值依次求AE、EG、BE的长，所以CE=3+，根据线段的和得出AC的长．

解：：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
∴∠A=∠BCG，
在△BCG和△CAF中，
，
∴△BCG≌△CAF（ASA），
∴CF=BG；

（2）∵PC∥AG，
∴∠PCA=∠CAG，
∵AC=BC，∠ACG=∠BCG，CG=CG，
∴△ACG≌△BCG，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°，
∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°，
∴∠PCG=∠PGC，
∴PC=PG，
∵PB=BG+PG，BG=CF，
∴PB=CF+CP；

过E作EM⊥AG，交AG于M，

∵S△AEG=AGEM=3 ，
由（2）得：△ACG≌△BCG，
∴BG=AG=6，
∴×6×EM=3，
EM=，
设∠FCH=x°，则∠GAC=2x°，
∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°，
∵∠ACH=45°，
∴2x+x=45，
x=15，
∴∠ACF=∠GAC=30°，
在Rt△AEM中，AE=2EM=2，

∴M是AG的中点，
∴AE=EG=2，
∴BE=BG+EG=6+2，
在Rt△ECB中，∠EBC=30°，
∴CE=BE=3+，
∴AC=AE+EC=2+3+=3+3．