题目内容
如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD=10，AB=6，求cos∠EDF的值．
分析：（1）根据直角三角形的性质可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠DAF，然后利用“角角边”证明△ABE和△DFA全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=AB，利用勾股定理列式求出AF的长度，从而得到EF的长度，再利用勾股定理列式求出DE的长度，然后根据余弦=
列式计算即可得解．
（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=AB，利用勾股定理列式求出AF的长度，从而得到EF的长度，再利用勾股定理列式求出DE的长度，然后根据余弦=
| 邻边 |
| 斜边 |
解答：（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵AE=BC，
∴AE=AD，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠B=90°，
在△ABE和△DFA中，
∵
，
∴△ABE≌△DFA（AAS）；
（2）解：根据（1）△ABE≌△DFA，
∴DF=AB=6，
在Rt△ADF中，AF=
=
=8，
∴EF=AE-AF=10-8=2，
在Rt△DEF中，DE=
=
=2
，
∴cos∠EDF=
=
=
．
∴∠AEB=∠DAF，
∵AE=BC，
∴AE=AD，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠B=90°，
在△ABE和△DFA中，
∵
|
∴△ABE≌△DFA（AAS）；
（2）解：根据（1）△ABE≌△DFA，
∴DF=AB=6，
在Rt△ADF中，AF=
| AD2-DF2 |
| 102-62 |
∴EF=AE-AF=10-8=2，
在Rt△DEF中，DE=
| DF2+EF2 |
| 62+22 |
| 10 |
∴cos∠EDF=
| DF |
| DE |
| 6 | ||
2
|
3
| ||
| 10 |
点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，准确识图找准对应边与对应角是解题的关键．
练习册系列答案
阳光试卷单元测试卷系列答案
相关题目
如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点B运动，点Q从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，设经过的时间为xs，△PBQ的面积为ycm2，则下列图象能反映y与x之间的函数关系的是（ ）
．
动过程中，Q点停留了1s，图②是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象．
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=6，则AD=（ ）
DE，EF与AB交于点F，设CE=x，BF=y．