Question

如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=

1

2

∠BAC．
其中正确的结论有

 

（填序号）

Answer 1

考点：三角形内角和定理,平行线的判定与性质,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论正确．
（2）由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出结论∠ACB=2∠ADB，
（3）在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出结论∠ADC=90°-∠ABD；
（4）如果BD平分∠ADC，则四边形ABCD是菱形，只有在△ABC是正三角形时才有BD平分∠ADC故④错误．
（5））由∠BAC+∠ABC=∠ACF，得出

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACF，再与∠BDC+∠DBC=

1

2

∠ACF相结合，得出

1

2

∠BAC=∠BDC，即∠BDC=

1

2

∠BAC．

解答：解：（1）∵AD平分△ABC的外角∠EAC
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故①正确．
（2）由（1）可知AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故②正确．
（3）在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，
故③正确，
（4）如果BD平分∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴只有在△ABC是正三角形时才有BD平分∠ADC
故④错误．
（5）∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，
∴

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2

∠BAC+

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACF，
∵∠BDC+∠DBC=

1

2

∠ACF，
∴

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC=∠BDC+∠DBC，
∵∠DBC=

1

2

∠ABC，
∴

1

2

∠BAC=∠BDC，即∠BDC=

1

2

∠BAC．
故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．

点评：本题主要考查了三角形的内角和，平行线的判定和性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是正确找各角的关系．