Question

14．已知：△ABC中，∠C=90°，BF⊥AB，BD=BF，FE⊥BC，求证：
（1）∠CAD=∠FAB；（2）CD=BE．

Answer 1

分析 （1）作DM⊥BF于M，△DEF≌△MFD，得∠DFE=∠FDM，再证明∠FDM=∠FAB，∠CAD=∠DFE，即可解决问题．
（2）作DN⊥AB于N．由角平分线的性质定理得DC=DN，再证明四边形DMBN是矩形，得DN=BM，只要证明BE=BM即可解决问题．

解答 证明：（1）作DM⊥BF于M．
∵BD=BF，
∴∠BDF=∠BFD，
在△DEF和△FMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠MFD}\\{∠DEF=∠DNF=90°}\\{DF=FD}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△MFD，
∴∠DFE=∠FDM，
∵AB⊥BF，DM⊥BF，
∴DM∥AB，
∴∠FDM=∠FAB，
∵FE⊥BC，∠C=90°，
∴∠C=∠FED=90°，
∴AC∥EF，
∴∠CAD=∠DFE，
∴∠CAD=∠BAF．

（2）作DN⊥AB于N．
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DN⊥AB，
∴CD=DN，
∵△DEF≌△FMD，
∴DE=FM，∵BD=BF，
∴BE=BM，
∵∠DNB=∠NBM=∠BMD=90°，
∴四边形DMBN是矩形，
∴DN=BM，
∴CD=BE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．