Question

17、如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米？

Answer 1

分析：以MN为x轴，其中点O为坐标原点建立直角坐标系，得出M、N及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A（x，y），建立含x的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出x的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．

解答：解：如图，以MN为x轴，其中点为坐标原点建立直角坐标系，

由此可得点M、N、P的坐标为M（-2，0），N（2，0），P（0，4）；
设抛物线解析式为y=ax²+4，代入点N（2，0），
得到抛物线解析式为y=-x²+4，
设A点的坐标为（x，y），则AB=CD=y，AD=BC=2x，
因此矩形铁皮的周长l=-2x²+4x+8（0＜x＜2），
若l=8，即-2x²+4x+8=8，
解得x₁=0，x₂=2；
矛盾，故l不可能是8．
∴这样截下的矩形铁皮的周长不能等于8分米．

点评：此题考查把一个实际问题转化成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．