Question

【题目】如图①，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若AB＝6，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；

（3）如图②，连接OD交AC于点G，若＝，求cosE的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连结OC，如图1，根据切线的性质得OC⊥DE，而AD⊥DE，根据平行线的性质得OC∥AD，所以∠2＝∠3，加上∠1＝∠3，则∠1＝∠2，所以AC平分∠DAB；

（2）如图1，由B为OE的中点，AB为直径得到OB＝BE＝3，OC＝3，在Rt△OCE中，由于OE＝2OC，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OEC＝30°，则∠COE＝60°，由CF⊥AB得∠OFC＝90°，所以∠OCF＝30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OF＝OC＝，再由勾股定理即可求出CF的长度；

（3）连结OC，如图2，先证明△OCG∽△DAG，利用相似的性质得==，再证明△ECO∽△EDA，利用相似比得到==，设⊙O的半径为R，OE＝x，代入求得OE＝3R，最后在Rt△OCE中，根据余弦的定义求解．

（1）证明：连结OC，如图1，

∵DE与⊙O切于点C，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴OC∥AD，
∴∠2＝∠3，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
即AC平分∠DAB；
（2）∵直径AB＝6，B为OE的中点，
∴OB＝BE＝4，OC＝3，
在Rt△OCE中，OE＝2OC，
∴∠OEC＝30°，
∴∠COE＝60°，
∵CF⊥AB，
∴∠OFC＝90°，
∴∠OCF＝30°，
∴OF＝＝OC＝，

∴由勾股定理可知：CF＝

（3）连结OC，如图2，

∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG，
∴==，

∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴==，
设⊙O的半径为R，OE＝x，
∴=，解得OE＝x＝3R，
在Rt△OCE中，
由勾股定理可知：CE＝2√2R，

cos∠E＝=.