Question

5．如图所示在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）t为何值时，△DPQ的面积是60；
（3）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（4）当t为何值时，PD=PQ．

Answer 1

分析 （1）由题意得出AQ=t，DQ=16-t，△DPQ的面积S=$\frac{1}{2}$DQ•AB，即可得出S与t之间的函数关系式；
（2）把S=60代入S与t之间的函数关系式，即可得出t的值；
（3）若四边形PCDQ是平行四边形，则DQ=PC，得出方程，解方程即可；
（4）作PE⊥AD于E，则四边形ABPE是矩形，得出AE=PB，由PD=PQ，得出PE垂直平分DQ，求出QD、DE，得出AE，列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）根据题意得：AQ=t，
∴DQ=16-t，
∴△DPQ的面积S=$\frac{1}{2}$×（16-t）×12=96-6t，
即S与t之间的函数关系式为：S=96-6t；
（2）当S=60时，96-6t=60，
解得：t=6，
∴t=6时，△DPQ的面积是60；
（3）∵PB=2t，
∴PC=21-2t，
若四边形PCDQ是平行四边形，
则DQ=PC，
∴16-t=21-2t，
解得：t=5，
∴当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形；
（4）作PE⊥AD于E，如图所示：
则四边形ABPE是矩形，
∴AE=PB，
∵PD=PQ，
∴QE=DE=$\frac{1}{2}$QD，
∵AQ=t，PB=2t，
∴QD=16-t，
∴DE=$\frac{1}{2}$（16-t），
∴AE=AD-DE=16-$\frac{1}{2}$（16-t）=8+$\frac{1}{2}$t，
∴8+$\frac{1}{2}$t=2t，
解得：t=$\frac{16}{3}$，
∴t=$\frac{16}{3}$时，PD=PQ．

点评 本题是四边形综合题目，考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形面积的计算等知识；本题有一定难度，综合性强，特别是（4）中，需要通过作辅助线运用矩形的性质列出方程才能得出结果．