Question

8．如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，交x轴于点H，若点H的坐标为（m，0）．
①用m的代数式表示点M的坐标和点N的坐标．
②若M为线段NH的中点，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由A、B点坐标设抛物线交点式，将点C坐标代入求解可得；
（2）①根据B、C点坐标求直线BC解析式，根据MN∥y轴交抛物线于N，交x轴于H，且点H的坐标为（m，0），由直线解析式可得点M坐标，由抛物线解析式可得N坐标；
②由M为线段NH的中点可得NM=MH，列出关于m的方程组，解方程组可得m的值，根据m的范围取舍后即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
将点C（0，3）代入，得：-3a=3，
解得：a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）①设直线BC的解析式为：y=kx+b，
将点B（3，0）、C（0，3）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-x+3，
∵MN∥y轴，点H的坐标为（m，0）．
∴点M坐标为（m，-m+3），点N坐标为（m，-m²+2m+3），其中0＜m＜3；
②∵M为线段NH的中点，
∴NM=MH，即-m²+2m+3-（-m+3）=-m+3，
整理，得：m²-4m+3=0，
解得：m=1或m=3
∵0＜m＜3，
∴m=1．

点评 本题主要考查待定系数法求抛物线、直线解析式及中点的定义，待定系数法求出抛物线与直线解析式是解题前提，根据中点的定义列出关于m的方程是解题关键．