Question

16．如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．
（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD=∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是BD=CD+AD；
（2）当∠BAC=90°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=90°，请证明：$BD-CD=\sqrt{2}AD$．
（3）如图4，当∠BAC=120°时，点D是射线BP上一点（点P不在线段BD上），
①当0°＜α＜30°，且∠CDP=60°时，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）；
②当30°＜α＜180°，且∠CDP=120°时，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．

Answer 1

分析 （1）①根据两三角形中若两个角对应相等，则第三个角也对应相等得：∠ACD=∠ABD；
②作辅助线，构建两个全等三角形：△ABE≌△ACD，得AD=AE，再证明△ADE是等边三角形，则AD=DE，相加后得结论；
（2）同理作辅助线，证明全等，再证明△ADE是等腰直角三角形，得DE=$\sqrt{2}$AD，代入DE=BD-BE中得结论；
（3）①如图4，BD-CD=$\sqrt{3}$AD，在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，证明△ABE≌△ACD，得AD=AE，根据特殊三角函数求得DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，代入BD-BE=DE中得出结论；
②如图5，BD+CD=$\sqrt{3}$AD，延长DB到E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，证明△ABE≌△ACD，得AD=AE，根据特殊三角函数求得DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，代入BD+BE=DE中得出结论．

解答 解：（1）如图2，①∵∠CDP=120°，
∴∠BDC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠DOC=∠AOB，
∴∠ACD=∠ABD，
②BD=CD+AD，
在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE，
∵AC=AB，∠ACD=∠ABD，
∴△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∴∠CAD+∠CAE=60°，
即∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∴BD=BE+DE=CD+AD；
故答案为：=，BD=CD+AD；
（2）如图3，在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE，
同理得△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠CAD+∠CAE=90°，
即∠DAE=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$AD，
∴DE=BD-BE=BD-CD=$\sqrt{2}$AD；
（3）①如图4，BD-CD=$\sqrt{3}$AD，理由是：
在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，
得△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，
∴DF=FE，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=120°，
∴∠CAD+∠CAE=120°，
即∠DAE=120°，
∴∠DAF=60°，
sin∠DAF=sin60°=$\frac{DF}{AD}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，
∴DE=2DF=$\sqrt{3}$AD，
∴BD-CD=BD-BE=DE=$\sqrt{3}$AD；
②如图5，BD+CD=$\sqrt{3}$AD，理由是：
延长DB到E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠EBA=150°-∠DBC，
∵∠CDP=120°，
∴∠BCD=120°-∠DBC，
∴∠ACD=∠BCD+30°=150°-∠DBC，
∴∠ACD=∠EBA，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD，∠EAB=∠CAD，
∴DF=EF，
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠DAF=60°，
同理得：DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，
∴ED=$\sqrt{3}$AD，
∴DE=BD+BE=BD+CD=$\sqrt{3}$AD．

点评 本题综合考查了等腰三角形、全等三角形及旋转的性质，作辅助线构建两三角形全等是本题的关键；要证明全等时，两边夹角的得出各问都不相同，是一个难点；同时运用了特殊角的三角函数值表示边的长度，在几何证明中线段的和与差是一个难点，思路为：想办法将线段转化到同一条直线上：①在长边截取短边，②延长短边等于长边；简称“截或接”．