题目内容
凸四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=90°，AB=2，CD=1，对角线AC、BD交于点O，如图．则sin∠AOB=分析：由∠BAD=∠BCD=90°可知A、B、C、D四点共圆，欲求sin∠AOB，联想到托勒密定理，只须求出BC、AD即可．
解答：
解：∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴A、B、C、D四点共圆；
延长BA、CD交于P，
则∠ADP=∠ABC=60°，
AD=x，有AP=
x，DP=2x，
由割线定理，得（2+
x）
x=2x（1+2x），
解得AD=x=2
-2，BC=
BP=4-
，
由托勒密定理有
BD•CA=（4-
）（2
-2）+2×1=10
-12．
又SABCD=S△ABD+S△BCD=
．
故sin∠AOB=
．
故本题答案为：
．
解：∵∠BAD=∠BCD=90°，∴A、B、C、D四点共圆；
延长BA、CD交于P，
则∠ADP=∠ABC=60°，
AD=x，有AP=
| 3 |
由割线定理，得（2+
| 3 |
| 3 |
解得AD=x=2
| 3 |
| 1 |
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| 3 |
由托勒密定理有
BD•CA=（4-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
又SABCD=S△ABD+S△BCD=
3
| ||
| 2 |
故sin∠AOB=
15+6
| ||
| 26 |
故本题答案为：
15+6
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点评：本题考查了锐角三角函数值的求法，切割线定理，涉及解一元二次方程．关键是明确所求角的三角函数，将问题进行转化．
练习册系列答案
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