Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是．

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得 OB• =

∴B（-2，0）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点A（1， ），得 ，

∴ ，

（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线

的对称轴x=-1交x轴于点E、当点C位于对称轴

与线段AB的交点时，△AOC的周长最小，

∵△BCE∽△BAF，∴ ，

∴CE= = ，∴C（-1， ）．

（4）存在、如图，设p（x，y），直线AB为y=kx+b，则 解得 ，

∴直线AB为 ，S_四BPOD=S_△BPO+S_△BOD= |OB||Y_P|+ |OB||Y_D|=|Y_P|+|Y_D|

= ，

∵S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD= - ×2×| x+ |=- x+ ，

∴ = = ，

∴x₁=- ，x₂=1（舍去），

∴p（- ，- ），

又∵S_△BOD= x+ ，

∴ = = ，

∴x₁=- ，x₂=-2．

P（-2，0），不符合题意．

∴存在，点P坐标是（- ，- ）．