Question

（2013•思明区一模）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB=3，BC=4，求点D到CE的距离．

Answer 1

分析：（1）根据矩形性质求出OD=OC，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；
（2）过点D作DF⊥CE于点F，过点C作CG⊥BD于点G，求出DF=CG，求出BD，根据三角形面积公式求出CG，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，
∴OC=OD，
又∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED是菱形．

（2）解：如图，过点D作DF⊥CE于点F，过点C作CG⊥BD于点G，
∵CE∥BD，
∴DF=CG．
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=3，∠DCB=90°．
∴BD=

BC2+CD2

=

42+32

=5，
又∵S△BCD=

1

2

•BD•CG=

1

2

•BC•CD，
∴CG=

BC•CD

BD

=

3×4

5

=

12

5

．
∴DF=

12

5

，
即点D到CE的距离为

12

5

．

点评：本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，三角形的面积，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．