Question

14．如图，在菱形ABCD的边BC的延长线上作等边△CEF中，∠ABC=120°，H是AE的中点，连接DF、DH、FH．
（1）求证：DH⊥HF．
（2）若AB=2，CE=1，求HF的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出△AHG≌△EHF，得出HG=HF，AG=EF，再判断出△ADG≌△CDF，得出DG=DF，即可；
（2）先判断出四边形BEFG是平行四边形，求出GF=3，再用（1）得出的结论HG=HF即可．

解答 解：（1）如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BCD=60°，
∵△CEF是等边三角形，
∴∠CFE=∠ECF=60°，
∴∠DCF=60°，
∴∠CFE=∠DCF，
∴EF∥DC∥AB，
∴∠GAH=∠FEH，∠AGH=∠EFH，
∵H是AE的中点，
∴AH=EH
在△AHG和△EHF中$\left\{\begin{array}{l}{∠AGH=∠EFH}\\{∠GAH=∠FEH}\\{AH=EH}\end{array}\right.$，
∴△AHG≌△EHF，
∴HG=HF，AG=FE，
∵△CEF是等边三角形，
∴CF=FE，
∴AG=CF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠GAD=60°，
∴∠GAD=∠FCD，
在△ADG和△DCF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AG=FC}\\{∠GAD=∠FCD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△DCF，
∴DG=DF，
∵HG=HF，
∴DH⊥HF，
（2）由（1）知，AG=EF，
∵AB=2，AG=EF=EC=1，
∴BG=AB-AG=1，
∴BG=EF，
由（1）知，AB∥EF，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴FG=BE=BC+CE=AB+CE=3，
由（1）知HG=HF，
∴HF=$\frac{1}{2}$GF=$\frac{3}{2}$．

点评 本题是菱形的性质，主要考查了全等三角形的性质和判定，菱形的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解本题的关键是判断出△ADG≌△CDF，