Question

4．如图，直线y=$\frac{3}{4}$x的图象与抛物线y=ax²-4ax+c交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），且与此抛物线的对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）先求出对称轴为x=2，然后求出与一次函数y=$\frac{3}{4}$x的交点，即点C的坐标；
（2）①先求出点D的坐标，设A坐标为（m，$\frac{3}{4}$m），然后根据面积为3，求出m的值，得出点A的坐标，最后根据待定系数法求出a、c的值，即可求出解析式；

解答 解：（1）∵y=ax²-4ax+c=a（x-2）²-4a+c，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=$\frac{3}{4}$x=$\frac{3}{2}$，
故点C（2，$\frac{3}{2}$）；

（2）∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（2，-$\frac{3}{2}$，），
∴CD=3，
设A（m，$\frac{3}{4}$m）（m＜2），
由S_△ACD=3得：$\frac{1}{2}$×3×（2-m）=3，
解得m=0，
∴A（0，0）．
由A（0，0）、D（2，-$\frac{3}{2}$）得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a-8a+c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{3}{8}$，c=0．
∴此抛物线的解析式为y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x．

点评 本题考查了二次根式的综合题，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，三角形的面积公式，以及待定系数法求函数解析式等知识点，综合性较强，难度较大．