Question

已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．

(1)求直线BC的解析式；
(2)求抛物线y＝ax²＋bx＋c的解析式及点P的坐标；
(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．

Answer 1

（1）（2），，．（3），当点的坐标是时，，当点的坐标是时，

解：（1），，，
是等腰三角形，且点在轴的正半轴上，，
．．
设直线的解析式为，，．
直线的解析式为．····················· 4分
（2）抛物线关于轴对称，．············ 5分

又抛物线经过，两点．
解得
抛物线的解析式是．······· 7分
在中，，易得．
在中，，，易得．
是的角平分线．
直线与轴关于直线对称．
点关于直线的对称点在轴上，则符合条件的点就是直线与抛物线的交点． 8分
点在直线：上，
故设点的坐标是．
又点在抛物线上，
．解得，．
故所求的点的坐标是，．··············· 10分
（3）要求的取值范围，可先求的最小值．
I）当点的坐标是时，点与点重合，故．
显然的最小值就是点到轴的距离为，
点是轴上的动点，无最大值，．···· 13分
II）当点的坐标是时，由点关于轴的对称点，故只要求的最小值，显然线段最短．易求得．
的最小值是6．
同理没有最大值，的取值范围是．
综上所述，当点的坐标是时，，
当点的坐标是时， ．··············· 15分
（1）设直线解析式为，用待定系数法，由勾股定理得到点，而，把它们代入即可
　　　（2）关于对称，则对称轴，再把点的坐标代入即可；由于点P关于直线AC的对称点在x轴上，利用直角三角形三角函数，得出直线与轴关于直线对称，则符合条件的点就是直线与抛物线的交点，把与组成方程组，求方程组的解即可
（3）要求范围，要求边界值，即求PM＋CM的最小值和最大值，当点的坐标是时，则，故最小值为，但没有最大值，故；当
点的坐标是时，把点和点分到轴的两侧，两点间连线最短，连线与轴的交点就点，的最小值是，同样没有最大值，故