Question

实数a，b，c满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1．求最大的实数k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立．

Answer 1

解：不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a，b，c恒成立．由已知条件知，a，b，c都不等于0，且c＞0．
因为abc=1，有ab=＞0；
又因为ab+bc+ca=0，
所以a+b=-＜0，
所以a≤b＜0．
由一元二次方程根与系数的关系知，a，b是一元二次方程x²+x+=0的两个实数根，
于是△=-≥0，
所以c³≤．
因此|a+b|=-（a+b）=≥4c=4|c|，不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a，b，c恒成立，
所以k≤4，最大的实数k为4．
分析：通过实数a，b，c满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1，利用c表示a+b和ab，并且确定它们的符号．然后写出以a、b为根的一元二次方程，则有△≥0，得到c的范围，再变形|a+b|，有|a+b|=-（a+b）=≥4c=4|c|，最后确定k的范围，找到k的最大值．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系，以a，b两数为根的方程为：x²+（a+b）x+ab=0．熟练掌握不等式的性质和绝对值的含义．