题目内容
已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．（1）如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为
（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长．
分析：（1）易证△DBE∽△CAE，通过相似比，可得出结论；
（2）通过作辅助线，过点B作BM⊥DC于M，证明△BME≌△ACE，可证得结论；
（3）过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，设BF=a，在直角三角形BFN中，用a分别表示出BN、FN的长，利用勾股定理得出DF，再通过证明△BME≌△ACE，△BGF∽△DGH，利用相似比求得FG、DG、BG，然后，根据△DKG和△DBG关于直线DG对称，证得△BGF∽△DGH，利用相似比得出GH、BH，求出a的值，从而求出CE的长．
（2）通过作辅助线，过点B作BM⊥DC于M，证明△BME≌△ACE，可证得结论；
（3）过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，设BF=a，在直角三角形BFN中，用a分别表示出BN、FN的长，利用勾股定理得出DF，再通过证明△BME≌△ACE，△BGF∽△DGH，利用相似比求得FG、DG、BG，然后，根据△DKG和△DBG关于直线DG对称，证得△BGF∽△DGH，利用相似比得出GH、BH，求出a的值，从而求出CE的长．
解答：（1）解：∵∠DBC=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACB=180°，
∴AC∥BD，
∴∠DBE=∠CAE
又∵∠DEB=∠AEC，
∴△DBE∽△CAE，
∴
=
，
又∵BD=BC=2AC，
∴DE=2CE；
故答案为DE=2CE．
（2）证明：如图2，∵∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，
∴∠D=∠BCD=30°，∴∠ACD=90°，
过点B作BM⊥DC于M，则DM=MC，BM=
BC，
∵AC=
BC，∴BM=AC，
∵在△BME和△ACE中
∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME=CE=
CM，
∴DE=3EC；
（3）解：如图，过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，
设BF=a，
∵∠DBF=120°，
∴∠FBN=60°，
∴FN=
a，BN=
a，
∵DB=BC=2BF=2a，∴DN=DB+BN=
a，
∴DF=
=
=
a，
∵AC=
BC，BF=
BC，
∴BF=AC，
∴△BDF≌△BCA（SAS），
∴∠BDF=∠CBA，
又∵∠BFG=∠DFB，
∴△FBG∽△FDB，
∴
=
=
，
∴BF2=FG×FD，
∴a2=
a×FG，
∴FG=
a，
∴DG=DF-FG=
a，BG=
=
a，
∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，
∴∠GDH=∠BDF，
∴∠ABC=∠GDH，
又∵∠BGF=∠DGH，
∴△BGF∽△DGH，
∴
=
，
∴GH=
=
a，
∵BH=BG+GH=
a=10，
∴a=2
；
∴BC=2a=4
，
CM′=BCcos30°=2
，
∴DC=2CM′=4
，
∵DE=3EC，
∴EC=
DC=
．
∴∠DBC+∠ACB=180°，
∴AC∥BD，
∴∠DBE=∠CAE
又∵∠DEB=∠AEC，
∴△DBE∽△CAE，
∴
| BD |
| AC |
| DE |
| CE |
又∵BD=BC=2AC，
∴DE=2CE；
故答案为DE=2CE．
（2）证明：如图2，∵∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，∴∠D=∠BCD=30°，∴∠ACD=90°，
过点B作BM⊥DC于M，则DM=MC，BM=
| 1 |
| 2 |
∵AC=
| 1 |
| 2 |
∵在△BME和△ACE中
|
∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME=CE=
| 1 |
| 2 |
∴DE=3EC；
（3）解：如图，过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，
设BF=a，
∵∠DBF=120°，
∴∠FBN=60°，
∴FN=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵DB=BC=2BF=2a，∴DN=DB+BN=
| 5 |
| 2 |
∴DF=
| DN2+FN2 |
(
|
| 7 |
∵AC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴BF=AC，
∴△BDF≌△BCA（SAS），
∴∠BDF=∠CBA，
又∵∠BFG=∠DFB，
∴△FBG∽△FDB，
∴
| FG |
| BF |
| BF |
| DF |
| BG |
| DB |
∴BF2=FG×FD，
∴a2=
| 7 |
∴FG=
| ||
| 7 |
∴DG=DF-FG=
6
| ||
| 7 |
| FG×DB |
| BF |
2
| ||
| 7 |
∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，
∴∠GDH=∠BDF，
∴∠ABC=∠GDH，
又∵∠BGF=∠DGH，
∴△BGF∽△DGH，
∴
| BG |
| DG |
| GF |
| GH |
∴GH=
| DG×GF |
| BG |
3
| ||
| 7 |
∵BH=BG+GH=
5
| ||
| 7 |
∴a=2
| 7 |
∴BC=2a=4
| 7 |
CM′=BCcos30°=2
| 21 |
∴DC=2CM′=4
| 21 |
∵DE=3EC，
∴EC=
| 1 |
| 4 |
| 21 |
点评：本题考查了全等、相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，本题考查的知识点较多，综合性较强，作好辅助线，对于证明结论事半功倍．
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