Question

【题目】如图，抛物线过点C（4，3），交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；

（2）连接OC，CM，求sin∠OCM的值；

（3）若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求使△PBC为直角三角形点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点M的坐标为（2，﹣1）；（2）的值为；（3）点P坐标为P（2，1）或（2，2）或（2，）或（2，）.

【解析】

（1）利用待定系数法先求出抛物线的解析式，再根据顶点式的特点可写出顶点坐标；

（2）根据点C和点M的坐标，求出的长，可得是直角三角形，再利用正弦的定义即可得；

（3）先可知点P的横坐标为2，设其坐标为，再根据抛物线的解析式求出点B的坐标，利用两点距离公式分别求出的长，最后根据为直角三角形，分三种情况，利用勾股定理求解即可.

（1）由抛物线过点，得：

，解得

故抛物线的解析式为，顶点M的坐标为；

（2）如图，连接OM

由C和M的坐标，利用勾股定理可得：,,,

是直角三角形，且

；

（3）由（1）得抛物线的对称轴为直线，因此设点P的坐标为

抛物线交x轴于A、B两点

令得点A和B的坐标为：

由两点距离公式得：

根据为直角三角形，分以下三种情况：

①当时，则，即

解得：或

故点P的坐标为或

②当时，则，即

解得：

故点P的坐标为

③当时，则，即

解得：

故点P的坐标为

综上，点P坐标为或或或.