Question

【题目】已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式和，两点的坐标；

（2）如图1，若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点，当时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），点的坐标为，点的坐标为；（2）存在点，使四边形的面积最大；点的坐标为，四边形面积的最大值为32；（3）点的坐标为、、或．

【解析】

（1）由抛物线的对称轴是直线 x＝3，解出 a的值，即可求得抛物线解析式，在

令其 y值为零，解一元二次方程即可求出 A和 B的坐标；

（2）易求点 C的坐标为（0，4），设直线 BC的解析式为 y＝kx+b（k≠0），将 B（8，0），

C（0，4）代入 y＝kx+b，解出 k和 b的值，即得直线 BC的解析式；设点 P的坐标为 ，过点 P作 PD∥y轴，交直线 BC于点 D，则点 D的坐标为 ， 利用关系式 S四边形 PBOC＝S△BOC+S△PBC得出关于 x的二次函数，从而求得其最值；

（3）设点 M的坐标为 则点 N的坐标为 ， ，分当 0＜m＜8时，或当 m＜0或 m＞ 8时来化简绝对值，从而求解．

（1）抛物线的对称轴是直线，

，解得，

抛物线的解析式为：．

当时，，解得，，

点的坐标为，点的坐标为．

答：抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为．

（2）当时，，

点的坐标为．

设直线的解析式为，将，代入得

，解得，

直线的解析式为．

假设存在点，使四边形的面积最大，

设点的坐标为，如图所示，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，

则，

当时，四边形的面积最大，最大值是32

，

存在点，使得四边形的面积最大．

答：存在点，使四边形的面积最大；点的坐标为，四边形面积的最大值为32．

（3）设点的坐标为，则点的坐标为，

，

又，

，

当时，，解得，，

点的坐标为或；

当或时，，解得，，

点的坐标为或．

答：点的坐标为、、或．