题目内容

先阅读下列第（1）题的解答过程，再解第（2）题．
（1）已知实数a、b满足a²=2-2a，b²=2-2b，且a≠b，求

的值．
解：由已知得：a²+2a-2=0，b²+2b-2=0，且a≠b，故a、b是方程：x²+2x-2=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得：a+b=-2，ab=-2．
∴

=

=4．
（2）已知p²-2p-5=0，5q²+2q-1=0，其中p、q为实数，求

的值．

【答案】分析：根据一元二次方程根与系数的关系和通过代数式变形，转化为根与系数的关系解答则可．
解答：解：由5q²+2q-1=0两边同除以-q²，得：

-

-5=0，而p²-2p-5=0，
故p和

是方程x²-2x-5=0的两根，
由根与系数的关系得：p+

=2，p•

=-5，
所以p²+

=（p+

）²-2×

=14．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

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解：由已知得：a²+2a-2=0，b²+2b-2=0，且a≠b，故a、b是方程：x²+2x-2=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得：a+b=-2，ab=-2．
∴

=-4．
（2）已知p²-2p-5=0，5q²+2q-1=0，其中p、q为实数，求p2+

（2001•黄冈）先阅读下列第（1）题的解答过程：
（1）已知a，β是方程x²+2x-7=0的两个实数根，求a²+3β²+4β的值．
解法1：∵a，β是方程x²+2x-7=0的两个实数根，
∴a²+2a-7=0，β²+2β-7=0，且a+β=-2．
∴a²=7-2a，β²=7-2β．
∴a²+3β²+4β=7-2a+3（7-2β）+4β=28-2（a+β）=28-2×（-2）=32．
解法2：由求根公式得a=1+2

．
∴a²+3β²+4β=（-1+2

=32．
当a=-1-2

时，同理可得a²+3β²+4β=32．
解法3：由已知得a+β=-2，aβ=-7．
∴a²+β²=（a+β）²-2aβ=18．
令a²+3β²+4β=A，β²+3a²+4a=B．
∴A+B=4（a²+β²）+4（a+β）=4×18+4×（-2）=64．①
A-B=2（β²-a²）+4（β-a）=2（β+a）（β-a）+4（β-a）=0．②
①+②，得2A=64，∴A=32．
请仿照上面的解法中的一种或自己另外寻注一种方法解答下面的问题：
（2）已知x₁，x₂是方程x²-x-9=0的两个实数根，求代数式x₁³+7x₂²+3x₂-66的值．

先阅读下列第（1）题的解答过程：
（1）已知a，β是方程x²+2x-7=0的两个实数根，求a²+3β²+4β的值．
解法1：∵a，β是方程x²+2x-7=0的两个实数根，
∴a²+2a-7=0，β²+2β-7=0，且a+β=-2．
∴a²=7-2a，β²=7-2β．
∴a²+3β²+4β=7-2a+3（7-2β）+4β=28-2（a+β）=28-2×（-2）=32．
解法2：由求根公式得a=1+2 $数学公式$ ，β=-1-2 $数学公式$ ．
∴a²+3β²+4β=（-1+2 $数学公式$ ）²+3（-1-2 $数学公式$ ）²+4（-1-2 $数学公式$ ）
=9-4 $数学公式$ +3（9+4 $数学公式$ ）-4-8 $数学公式$ =32．
当a=-1-2 $数学公式$ ，β=-1+2 $数学公式$ 时，同理可得a²+3β²+4β=32．
解法3：由已知得a+β=-2，aβ=-7．
∴a²+β²=（a+β）²-2aβ=18．
令a²+3β²+4β=A，β²+3a²+4a=B．
∴A+B=4（a²+β²）+4（a+β）=4×18+4×（-2）=64．①
A-B=2（β²-a²）+4（β-a）=2（β+a）（β-a）+4（β-a）=0．②
①+②，得2A=64，∴A=32．
请仿照上面的解法中的一种或自己另外寻注一种方法解答下面的问题：
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的值．
由已知得：a²+2a-2=0，b²+2b-2=0，且a≠b，故a、b是方程：x²+2x-2=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得：a+b=-2，ab=-2．
∴

=4．
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∴a²+2a-7=0，β²+2β-7=0，且a+β=-2．
∴a²=7-2a，β²=7-2β．
∴a²+3β²+4β=7-2a+3（7-2β）+4β=28-2（a+β）=28-2×（-2）=32．
解法2：由求根公式得a=1+2

．
∴a²+3β²+4β=（-1+2

=32．
当a=-1-2

时，同理可得a²+3β²+4β=32．
解法3：由已知得a+β=-2，aβ=-7．
∴a²+β²=（a+β）²-2aβ=18．
令a²+3β²+4β=A，β²+3a²+4a=B．
∴A+B=4（a²+β²）+4（a+β）=4×18+4×（-2）=64．①
A-B=2（β²-a²）+4（β-a）=2（β+a）（β-a）+4（β-a）=0．②
①+②，得2A=64，∴A=32．
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